ترجمة محاضرة الجبر والتفاضل

The left side of (1.4) is identical to that of (1.3) . في الجانب الأيسر من (1.4) مطابقة لتلك التي من (1.3). To show that the right sides are equal, we note that تبين أن الجانبين الحق على قدم المساواة ، فإننا نلاحظ أن
(ar n+1 –a) ∕ ( r -1 ) +ar n+1 = (ar n+1 –a) ∕ ( r -1 ) + ar n+1 (r -1) ∕ (r -1 ) (ن وصول +1 - أ) / (ص -1) + ن وصول +1 = (ن +1 صول - أ) / (ص -1) + ن وصول +1 (ص -1) / (ص -1)
= ( ar n+1 –a +ar n+2 – ar n+1 ) ∕ ( r -1 ) = (ن +1 وصول واحد وصول +2 + ن -- ن وصول +1) / (ص -1)
= ( ar n +2 – a ) ∕ ( r -1 ) = (ن وصول +2 -- أ) / (ص -1)


Since we have shown that (1.2) implies (1.3), we can conclude that (1.1) holds for all positive integers n. نظرا لأننا قد أظهرت أن (1.2) تعني (1.3) ، يمكننا أن نستنتج أن (1.1) يحمل لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n.
Example. المثال. Let n be a positive integer. To find the sum اسمحوا ن يكون صحيحا موجبا. العثور على مبلغ

2 k = 1 +2 +2 2 +……+2 n 2 ك 1 +2 +2 = 2 +...... ن +2


We use theorem 1.1 with a = 1 and r = 2, to obtain نحن نستخدم نظرية 1.1 مع = 1 و ص = 2 ، للحصول على
1 +2 +2 2 +……+2 n = ( 2 n+1 – 1 ) ∕ (2 -1 )= 2 n+1 -1 1 +2 +2 + 2...... +2 ن = (2 ن +1 -- 1) / (2 -1) = 2 ن +1 -1
Hence, the sum of consecutive nonnegative powers of 2 is one less than the next largest power of 2. وبالتالي ، فإن مجموع القوى غير سلبي على التوالي من 2 هو أقل من واحد في السلطة المقبلة أكبر من 2.
A slight variant of the principle of mathematical induction is also sometimes useful in proofs. البديل ألف طفيف لمبدأ الاستقراء الرياضي هو أيضا في بعض الأحيان مفيدة في البراهين.
The Second Principal of Mathematical Induction. A set of positive integers which contains the integer 1, and which has the property that if it contains all the positive integers 1, 2, …, k , then it also contains the integer k + 1, must be the set of all positive integers. الرئيسي الثاني للرياضي التعريفي. مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة التي تحتوي على عدد صحيح 1 ، والذي لديه ممتلكات أنه إذا كان يحتوي على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة 1 ، 2 ،... ، ك ، ثم أنه يحتوي أيضا على عدد صحيح ك + 1 ، ويجب تكون كل مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة.
Definition. We say the function f is defined recursively if the value of f at 1 is specified and if a rule is provided for determining f ( n+ 1) from f ( n ) . التعريف ، ونحن نقول وظيفة و يتم تعريفها بشكل متكرر إذا كانت قيمة في 1 و هو محدد وإذا كان الحكم هو المقدمة لتحديد و (ن + 1) من و (ن).
If a function is defined recursively, one can use the principle of mathematical induction to show it is defined uniquely at each positive integer. إذا كان يتم تعريف الدالة بشكل متكرر ، يمكن للمرء استخدام مبدأ الاستقراء الرياضي ليظهر انه يعرف فريد في كل عدد صحيح موجب.
We now give an example of a function defined recursively. علينا الآن أن أعطي مثالا على وظيفة محددة بشكل تكراري. We define the factorial function f ( n ) = n ! أن نحدد وظيفة مضروب و (ن) = ن! . . First, we specify that أولا ، علينا أن تحدد
f (1) = 1 , و (1) = 1 ،
and then we give the rule for fining f ( n+ 1) from f ( n ), namely ومن ثم نعطي قاعدة لتغريم و (ن + 1) من و (ن) ، وهما
f ( n+ 1) =( n + 1) f ( n ) . و (ن + 1) = (ن + 1) و (ن).
These two statements uniquely define n !. هذه بيانين فريد تعريف ن!.
To find the value of f (6) = 6! للعثور على قيمة و (6) = 6! From the recursive definition of f ( n ) = n !, use the second property successively, as follows من تعريف للالعودية و (ن) = ن! ، استخدام الخاصية الثانية على التوالي ، على النحو التالي
We now use the first statement of the definition to replace f ونحن الآن استخدام العبارة الأولى من تعريف ليحل محل و (1) by its stated value 1, to conclude that (1) من قيمته 1 ذكر ، أن نستنتج أن
6! 6! =6.5.4.3.2.1 = 6.5.4.3.2.1
In general, by successively using the recursive definition, we see that n ! بصفة عامة ، وذلك تباعا باستخدام التعريف متكررة ، ونحن نرى أن ن! is the product of the first n positive integers, i , e. هو نتاج ن أول الأعداد الصحيحة الموجبة ، ط ، ه.

n! ن! = 1.2.3.4……n. = 1.2.3.4...... n.
For convenience, and future use, we specify that 0! للراحة ، واستخدامها في المستقبل ، علينا أن تحدد 0! = 1. = 1.
We take this opportunity to define a annotation for products, analogous to summation notation. The product of the real numbers a 1 , a 2 , …,a n is denoted by نغتنم هذه الفرصة لتعريف وشرح للمنتجات ، ومماثلة لتدوين خلاصة. المنتج من الأعداد الحقيقية (أ) 1 ، 2 ،... ، أ ن راشي


= a 1 a 2 a 3 …..a n أ = 1 أ 2 أ 3..... أ ن
The letter j above is a "dummy variable", and can be replaced arbitrarily. ي في الرسالة المذكورة أعلاه هو "نموذج متغير" ، ويمكن استبدالها بصورة تعسفية.
Example. To illustrate the notation for products we have مثلا ، لتوضيح التأشير على المنتجات لدينا

= 1.2.3.4.5 = 120 = 1.2.3.4.5 = 120


= 2.2.2.2.2 = 32 2.2.2.2.2 = 32 =