ترجمة محاضرة الجبر والتفاضل 1

Chapter 1 الفصل 1
Mathematical Induction الرياضية التعريفي


1- 1 The well -Ordering Property 1 -- 1 وحسنة الترتيب الملكية
In this section, we discuss several important tools that are useful for proving theorems. We begin by stating an important axiom, the well –ordering property. في هذا المقطع ، ونحن نناقش العديد من الأدوات المهمة التي هي مفيدة لإثبات نظريات. أبدأ بالقول إننا في الحقيقة الهامة ، وكذلك ترتيب الممتلكات.
The well -Ordering Property. Every nonempty set of positive integers has a least element. وحسنة الترتيب الملكية. فارغا كل مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة لديها عنصر الأقل.
The principle of mathematical induction is a valuable tool for proving results about the integers. We now state this principle, and show how to prove it using the well –ordering property. مبدأ الاستقراء الرياضي هو أداة قيمة لإثبات النتائج حول الأعداد الصحيحة ، ونحن الآن دولة هذا المبدأ ، وتظهر كيف تثبت ذلك باستخدام خاصية جيدا يأمر. Afterwards, we give an example to demonstrate the principle of mathematical induction. بعد ذلك ، أن نعطي مثالا للتدليل على مبدأ الاستقراء الرياضي. In our study of number theory, we will use both the well –ordering property and the principle of mathematical induction many times. في دراستنا للنظرية الأعداد ، سوف نستخدم كل من الملكية جيدا يأمر ومبدأ الرياضية التعريفي مرات عديدة.

The Principle of Mathematical Induction.A set of positive integers that contains the integer 1 and the integer n+1 whenever it contains n must be the set of all positive integers. مبدأ الرياضي Induction.A مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة التي تحتوي على 1 صحيحا ون +1 كلما كان ذلك صحيحا فإنه يحتوي ن يجب أن تكون كل مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة.
Proof. برهان. Let S be a set of positive integers containing the integer 1and the integer n+1 whenever it contains n.Assume that S is not the set of all positive integers . اسمحوا دإ تكون مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة التي تحتوي على عدد صحيح 1and ن +1 كلما كان ذلك صحيحا أنه يحتوي على n.Assume دإ أن ليس كل مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة. Therefore, there are some positive integers not contained in S By the well –ordering property, since the set of positive integers not contained in S is nonempty ,there is a least positive integer n which is not in S . ولذلك ، هناك بعض الأعداد الصحيحة الموجبة غير واردة في مجال العلم والممتلكات أمر جيد ، حيث أن مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة غير واردة في مجال العلم هو غير فارغ ، هناك على الأقل إيجابية ن صحيحا وهو ليس في العلم. Now since n >1 the integer n-1 is a positive integer smaller than n , and hence must be in S . منذ الآن ن> 1 ن صحيحا - 1 هو عدد صحيح موجب أصغر من ن ، وبالتالي يجب أن يكون في العلم. B u t since S contains n-1, it must also contain ( n-1 ) +1 =n ,which is a contradiction, since n supposedly the smallest positive integer not in S This show that S must be the set of all positive integers. باء حزب التحرير منذ دإ يحتوي ن - 1 ، يجب أن تحتوي أيضا على (ن 1) +1 = ن ، وهو تناقض ، حيث يفترض ن أصغر صحيح موجب لا في مجال العلم وهذا يبين أن دإ يجب أن تكون كل مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة .




To prove theorems using the principle of mathematical induction, we must show two things . لاثبات النظريات باستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي ، يجب علينا اظهار أمرين. We must show that the statement we are trying to prove is true for 1, the smallest positive integer. يجب أن نظهر أن البيان الذي نحاول اثبات صحيحا ل1 ، أصغر عدد صحيح موجب. In addition, we must show that it is true for the positive integer n + 1 if it is true for the positive integer n. بالإضافة إلى ذلك ، يجب علينا أن نظهر أن كان صحيحا لعدد صحيح ن ايجابية + 1 إذا كان صحيحا لعدد صحيح موجب n. By the principle of mathematical induction, one concludes that the set S of all positive integers for which the statement is true must be the set of all positive integers. وفقا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، احد يخلص إلى أن مؤشر ستاندرد تعيين جميع الأعداد الصحيحة الموجبة للبيان الذي هو الصحيح يجب أن تكون كل مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة. To illustrate this procedure, we will use the principle of mathematical induction to establish a formula for the sum of the terms of a geometric progression. لتوضيح هذا الإجراء ، سوف نستخدم مبدأ الحث الرياضية لإنشاء صيغة لمجموع شروط متوالية هندسية.
Definition. تعريف. Given real numbers a and r , the real numbers نظرا إلى الأعداد الحقيقية وص ، الأعداد الحقيقية
a , ar , ar 2 ,ar 3 , …… أ ، ع ، 2 år ، ع 3 ،......
Are said to form a geometric progression. وقال لتشكيل متوالية هندسية. Also, a is called the initial term and r is called the common ratio. أيضا ، وهو ما يسمى في مصطلح الأولية وص يسمى نسبة مشتركة.
Example. المثال. The numbers 5, -15, 45, -135, … form a geometric progression with initial term 5 and common ratio -3. أرقام 5 ، -15 ، 45 ، -135 ،... شكل متوالية هندسية مع مصطلح الأولي ونسبة 5 المشتركة -3.
In our discussion of sums, we will find summation notation useful. في مناقشتنا لمبالغ مالية ، فلن نجد في تدوين خلاصة مفيدة. The following notation represents the sum of the real numbers a 1 , a 2 ,…., a n التدوين التالية يمثل مجموع الأعداد الحقيقية (أ) 1 ، 2 ،... ، أ ن
∑a k = a 1 + a 2 +…..+ a n . Σa ك أ = 1 + أ 2 +..... + أ ن.
We note that the letter k, the index of summation, is a "dummy variable" and can be replaced by any letter, so that نلاحظ أن الرسالة ك ، ومؤشر الجمع ، هو "نموذج متغير" ، ويمكن الاستعاضة عنها أي حرف ، بحيث
Example. المثال. We see that فإننا نرى أن

j =1 +2 + 3 + 4 + +5 = 15 ي = 1 +2 + 3 + 4 + +5 = 15


2= 2 + 2 + 2 + 2 +2 = 10 , 2 = 2 + 2 + 2 + 2 +2 = 10 ،

and و
2 j = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 =62 2 ي 2 + 2 = 2 + 2 3 + 2 + 4 2 5 = 62



We also note that in summation notation, the index of summation may range between any two integers, as long as the lower limit does not exceed the upper limit. If m and n are integers such that m ≤ n, then نلاحظ أيضا أن بالتدوين كخلاصة ، يمكن للمؤشر من مجموعة الجمع بين أي اثنين صحيحة ، طالما أن الحد الأدنى الذي لا يتجاوز الحد الأعلى ، وإذا وم ن هي صحيحة من هذا القبيل أن م ن ≤ ، ثم
a k = a m + a m+1 +…..+ a n . ك أ = أ م أ م +1 + + +..... أ ن.

For instance, we have على سبيل المثال ، لدينا
K 2 = 3 2 +4 2 +5 2 = 50 ك 2 = 3 2 +4 2 +5 2 = 50


and و
3 k = 3 0 +3 1 +3 2 = 13 3 ك 3 0 +3 = 1 +3 = 2 13




and و
k 3 = ( -2 ) 3 +( -1 ) 3 +0 3 + 1 3 =- 8 ك 3 = (-2) 3 + (-1) 3 +0 3 + 1 3 =- 8


We now turn our attention to sums of terms of geometric progression. علينا الآن أن نوجه اهتمامنا إلى مبالغ من حيث متوالية هندسية. The sum of the terms a, ar, ar 2 ,… , ar n مجموع شروط أ ، ع ، 2 ع ،... ، ع ن is يكون
ar j = a + ar +ar 2 +…….+ ar n , ي = أ + وصول وصول وصول + 2 +....... وصول + ن ،

Where the summation begins with j =0 . حيث يبدأ الجمع ي = 0. We have the following theorem. لدينا نظرية التالية.
Theorem 1.1. if a and r are real numbers and r 1, then مبرهنة 1.1. إذا وص الأرقام الحقيقية هي وص 1 ، ثم
ar j = a + ar +ar 2 +…….+ ar n = (ar n+1 –a) ∕ ( r -1 ) ي = أ + وصول وصول وصول + 2 +....... وصول + ن = (ن +1 صول - أ) / (ص -1)

Proof. To prove that the formula for the sum of terms of a geometric progression is valid, we must first show that it holds for n = 1. برهان. وللتدليل على أن هذه الصيغة لقاء مبلغ من حيث بمتوالية هندسية صحيحة ، يجب علينا أولا أن تبين أنه يحمل لن = 1. Then, we must show that if the formula is valid for the positive integer n, it must also be true for the positive integer n + 1. ثم ، يجب علينا أن نظهر أنه إذا كانت صيغة صالحة لن ايجابية صحيحا ، فإنه يجب أيضا أن يكون صحيحا لعدد صحيح ن ايجابية + 1.
To start things off, let n = 1. لبدء أمور قبالة ، اسمحوا ن = 1. Then, the left side of (1.1) is a +ar, while on the right side of (1.1) we have ثم ، في الجانب الأيسر من (1.1) هو وصول + ، بينما على الجانب الأيمن من (1.1) لدينا
( ar 2 –a ) ∕ (r-1)=a (r 2 – 1 ) ∕ ( r – 1 ) = a ( r + 1 ) = a + ar (ع 2 أ) / (ص - 1) = أ ص (2 -- 1) / (ص -- 1) = (أ) (ص + 1) = أ + وصول
So the formula is valid when n = 1 . بحيث تكون الصيغة صحيحة عندما ن = 1.
Now we assume that (1.1) holds for the positive integer n. That is, we assume that الآن نحن نفترض أن (1.1) يحمل لصحيح موجب n. ولهذا ، فإننا نفترض أن
(1.2) a + ar +ar 2 +…….+ ar n = (ar n+1 –a) ∕ ( r -1 ) (1.2) (أ) + + وصول وصول 2 +....... وصول + ن = (ن +1 صول - أ) / (ص -1)
We must show that the formula also holds for the positive integer n + 1. يجب أن نظهر أن صيغة حاصل أيضا على عدد صحيح ن ايجابية + 1. What we must show is that ما يجب علينا أن نبين أن
(1.3 ) a + ar +ar 2 +…….+ ar n+1 = (ar ( n+1)+1 –a) ∕ ( r -1 )= (ar n+2 -a) ∕ r-1 (1.3) (أ) + + وصول وصول 2 +....... وصول + ن +1 = (ع (ن +1) +1 - أ) / (ص -1) = (ن +2 صول - أ) / ص - 1

To show that (1.3) is valid, we add to both sides of (1.2) , to obtain تبين أن (1.3) غير صالحة ، ونحن إضافة إلى كلا الجانبين من (1.2) ، للحصول على
( a + ar +ar 2 +…….+ ar n ) + ar n+1 = (ar n+1 –a) ∕ ( r -1 ) +a r n+1 (1.4)(أ صول وصول + + 2 +....... + ن ع) + ن وصول +1 = (ن +1 صول - أ) / (ص -1) + أ ن ص +1 (1.